um 
espaço vetorial.a) Mostre que
e que 
Resposta: Note que
e assim,
Como V é espaço vetorial, segue que ele é grupo e assim, vale a lei do cancelamento a direita, logo
e, da mesma forma
Novamente pela lei do cancelamento a direita temos
b) Mostre que se
com 
então 
ou 
.Resposta: Vamos supor que
. Temos que como é corpo segue que todo elemento não nulo tem inverso multiplicativo, assim obtemos que 
Por outro lado se supormos que 
então não podemos assumir 
pois do contrário, 
possuirá inverso 
e assim
então não podemos assumir pois do contrário, possuirá inverso e assim
que é uma contradição.
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2) Mostre que os conjuntos 
e o espaço das funções 
são espaços vetoriais.
e o espaço das funções são espaços vetoriais.Resposta:
i) Considere o conjunto 
com as seguintes operações:
com as seguintes operações:
-Associatividade
- Comutatividade
Novamente, como é corpo, segue que
é corpo, segue que
- Elemento Neutro e Elemento inverso
Como é corpo, para todo 
temos que existe 
e 
tais que
é corpo, para todo temos que existe e tais que
-Associativa da multiplicação
- Distributiva para vetores
-Distributiva para escalares
- Identidade do corpo
Temos que 
e assim
e assim
Portanto, é um espaço vetorial.
ii) Seja
um conjunto qualquer e o conjunto de todas as funções 
com as operações usuais.
-Associatividade
-Comutatividade
Como é corpo, segue que é grupo abeliano e portanto
- Elemento Neutro e Elemento inverso
Considere
igual a função identicamente nula, ou seja, 
então
é um espaço vetorial.ii) Seja
um conjunto qualquer e o conjunto de todas as funções com as operações usuais.-Associatividade
-Comutatividade
Como
é corpo, segue que é grupo abeliano e portanto- Elemento Neutro e Elemento inverso
Considere
igual a função identicamente nula, ou seja, então-Associativa da multiplicação
Considere a função
definida por 
, assim
, a saber, 
e portanto
uma vez que é espaço vetorial sobre
Pois vale para todo 
, em particular vale para 
.
Pelo mesmo motivo que o item anterior.
Resposta: Vamos mostrar que 
é fechado para diferença e que possui o elemento neutro do 
, para mostrar assim, que é subgrupo. De fato, 
pois 
e
é a identidade pois
- Distributiva para vetores
-Distributiva para escalares
- Identidade do corpo
Considere a função
definida por , assim Portanto, com as operações acima é um espaço vetorial.
Resposta: As quatro propriedades que levam a ser um grupo abeliano permanecem válidas pois não dependem do corpo. Vamos analisar as outras quatro propriedades relacionadas com o produto por escalar.
com as operações acima é um espaço vetorial.---------------------------------------------------------------------------------------------------
3) Mostre que
é um espaço vetorial sobre
.
Resposta: Temos que
com as operações
3) Mostre que
é um espaço vetorial sobre.Resposta: Temos que
com as operações4) Seja 
um subcorpo de . Mostre que se é um espaço vetorial sobre então será um espaço vetorial sobre 
.
um subcorpo de . Mostre que se é um espaço vetorial sobre então será um espaço vetorial sobre .Resposta: As quatro propriedades que levam
a ser um grupo abeliano permanecem válidas pois não dependem do corpo. Vamos analisar as outras quatro propriedades relacionadas com o produto por escalar.- Associatividade da multiplicação
Dados 
temos que 
e portanto vale
temos que e portanto vale-Identidade
Como é subcorpo segue que também é corpo, logo, existe um elemento 
tal que
é subcorpo segue que também é corpo, logo, existe um elemento tal que, a saber, e portanto uma vez que é espaço vetorial sobre Distributividade para vetores
Pois vale para todo , em particular vale para .Distributividade para escalares
Pelo mesmo motivo que o item anterior.---------------------------------------------------------------------------------------------------
5) Seja 
um plano do 
. Mostre que é um 
espaço vetorial.
um plano do . Mostre que é um espaço vetorial. é fechado para diferença e que possui o elemento neutro do , para mostrar assim, que é subgrupo. De fato, pois e logo é fechado para subtração. Vamos mostrar que é comutativo, de fato
Identidade
é a identidade pois Temos que a assoatividade do produto, distributiva para vetores e distributiva para escalares são imediatas visto que valem para todo , logo vale para .
, logo vale para .---------------------------------------------------------------------------------------------------
6) Descreva o 
espaço vetorial das soluções do seguinte sistema linear
espaço vetorial das soluções do seguinte sistema linear 