Evandro Alves Nakajima: Resolução da Primeira Prova

1) Um resistor [;R;]

e uma indutância de 1.4 H estão em série com uma fonte de corrente alternada de 60Hz. A tensão através do resistor é de 30V, e a tensão através do indutor é de 40V.

a) Qual é a resistência R?

Resposta: Vamos inicialmente encontrar a corrente do sistema. Temos que $[;V_L=L\frac{dI}{dt};]$ e portanto,

$[;\frac{dI}{dt}=\frac{V_L}{L}=\frac{40}{1.4}\approx 28.5714;]$ [;(1);]

Daí, como a corrente é alternada temos que $[;I=I_0\cdot sen(\omega t);]$ , donde derivando, obtemos

$[;\frac{dI}{dt}=I_0\omega\cdot cos(\omega t);]$ [;(2);]

Onde $[;\omega=2\cdot \pi \cdot f;]$ e [;f=60Hz;]

, ou seja, $[;\omega=120\pi Hz \approx 377;]$ . Desta forma, substituindo em [;(2);]

temos

$[;28.5714\approx\frac{dI}{dt}=I_0\cdot 377\cdot cos(\omega t);]$

$[;\Rightarrow \ \ \ \ I_0\approx\frac{28.5714}{377\cdot cos(\omega t)} ;]$

Como queremos o valor quando [;t=0;]

segue que $[;I_0\approx 0.07579;]$ . Sabendo este valor fica fácil calcular [;R;]

pois

$[;V_R = IR \ \ \ \ \Rightarrow \ \ \ \ 30v=0.07579_A\cdot R \ \ \ \ \Rightarrow \ \ \ \ R\approx 396\Omega;]$

b) Qual a tensão ca de entrada?
Resposta: Fazendo a análise tensorial do circuito temos que , portanto,

$[;V^2=30^2+40^2 \ \ \ \Rightarrow \ \ \ V=50v;]$ .

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2) Escreva a impedância [;Z;]

e faça um esboço de [;Z;]

versus $[;\omega;]$ para

a) Um circuito [;RC;]

b) Um circuito [;RL;]

c) Um circuito [;RLC;]

Resposta: Vide o post "Circuitos RLC".

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3) Em um circuito um gerador ca produz uma tensão rms de 115V quando opera a 60Hz. Sabendo que entre os pontos AB existe uma indutância [;L=137mH;]

, entre os pontos BC existe uma resistência $[;R=50\Omega;]$ , entres os pontos CD existe uma capacitância $[;C=25\mu F;]$ e que entre os pontos DA está a fem, calcule a tensão entre os pontos:

a) AB.

Resposta: Note que em primeiro lugar é necessário calcular a corrente que atravessa o circuito e, para isso, vamos utilizar a impedância $[;Z=\frac{V}{I};]$ do circuito. Assim,

$[;Z=\frac{V}{I}=\sqrt{R^2+(\omega L - \frac{1}{\omega C})^2} \ \ \ \ \Rightarrow \ \ \ \ \frac{115}{I}=\sqrt{50^2\Omega+(2\cdot\pi\cdot 60Hz-\frac{1}{2\cdot\pi\cdot 60Hz 25\mu F});]$

$[;\Rightarrow \ \ \ \ \ I=\frac{115}{74}\approx 1.55A;]$

Dessa forma, calculada a corrente [;I;]

e fazendo $[;I=I_0\cdot e^{\omega t};]$ temos que $[;\frac{dI}{dt}=\omega I_0\cdot e^{wt}=\omega I;]$ vem que

$[;V_L=L\cdot\frac{dI}{dt}=L\cdot \omega I = 0.137H\cdot 2\cdot \pi \cdot 60 Hz\cdot 1.55_A;]$ , ou seja, [;V_L=80.05v;]

.

b) BC.

Resposta: $[;V_R=R\cdot I = 50\cdot 1.55=77.5v;]$

c) CD.

Resposta: Note que $[;Q=\int I\cdot dt = \int I_0\cdot e^{\omega t} dt=I_0\cdot \int e^{\omega t}dt = I_0\cdot\frac{e^{\omega t}}{\omega};]$ ou seja, $[;Q = \frac{1}{\omega}I;]$ . Como $[;V_Q=\frac{Q}{C};]$ segue que

$[;V_C=\frac{I}{\omega C}=\frac{1.55}{2\cdot \pi\cdot 60\cdot 0.000025}\approx 164.46v;]$

d) AC.

Resposta: Fazendo a análise tensorial, temos que

$[;V_{AC}^2=V_{AB}^2+V_{BC}^2;]$

$[;\Rightarrow \ \ \ \ V_{AC}^2=V_L^2+V_R^2 = 80.05^2+77.5^2;]$ $[;\Rightarrow \ \ \ \ V_{AC}\approx 111.42v;]$

e) BD.

Resposta: Fazendo novamente (e incansávelmente) a análise tensorial, temos que

$[;V_{BD}^2=V_{BC}^2+V_{CD}^2;]$ ;

$[;\Rightarrow \ \ \ \ V_{BD}^2=V_R^2+V_C^2=77.5^2+164.46^2 \ \ \ \ \Rightarrow \ \ \ \ V_{BD}\approx 180.80v;]$

Observação: Note que $[;V_{AD}^2=V_R^2+(V_L-V_C)^2;]$ ou seja, $[;V_{AD}\approx 115v;]$ (Graças a Deus)!!

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4) Um resistor [;R;]

e um capacitor [;C;]

estão em série com um gerador (como mostra a figura abaixo). O gerador aplica uma queda de potencial através da combinação [;RC;]

dada por

$[;V_{AP}=\sqrt{2}V_{AP,rms}\cdot cos(\omega t).;]$

Encontre a queda de potencial [;rms;]

através do capacitor $[;V_{rms,sai};]$ como uma função da frequência $[;\omega;]$
Este circuito é chamado de filtro "passa-baixas RC". Explique porquê.

Resposta: Analisando os tensores de um sistema temos que onde e $[;V_C=\frac{Q}{C};]$ . Além disso, sabemos que em um circuito a impedância é dada por

$[;Z=\frac{V_{ap,rms}}{I_rms}=\sqrt{R^2+Xc^2};]$ ou ainda $[;Z=\sqrt{R^2+\frac{1}{(\omega C)^2};]$ .

Temos também que $[;V_{rms,sai}=\frac{Q}{C};]$ e $[;I_{rms}=\frac{dQ}{dt};]$ , donde $[;I_{rms}=I_{0}\cdot e^{wt};]$ ou seja,

$Q = \int I_{rms} dt = \int I_{0}\cdot e^{\omega t}dt = \frac{1}{\omega}\cdot I_{0}\cdot e^{\omega t} = \frac{I_{rms}}{\omega}$

Assim, tiramos que $[;V_{rms,sai}=\frac{I_{rms}}{\omega C} = I_{rms}\cdot X_{C};]$ . Substituindo em vem que

$[;V_{sai,rms}=I_{rms}\cdot X_C = \frac{V_{ap,rms}}{Z}X_C = \frac{V_{ap,rms}\cdot \frac{1}{\omega C}}{\sqrt{R^2+\frac{1}{(\omega C)^2}}};]$

Ou seja, obtemos que $[;V_{sai,rms}=\frac{V_{ap,rms}}{\sqrt{1+R^2\omega^2 C^2}};]$ . Esse circuito é chamado de filtro "passa-baixas ", um vez que transmite com grande amplitude frequências baixas, em vez de altasfrequências. De fato, a queda de potencial de saída é igual à queda de potencial aplicada pelo gerador no limite quando $[;\omega \rightarrow 0;]$ , mas se aproxima de zero para $[;\omega\rightarrow\infty;]$ .

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5) Escreva as equações de Maxwell citando os principais fenômenos que cada uma delas descreve.

Resposta: Vide o Post "Equações de Maxwell".

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6) Assumindo que $[;E=E_y\widehat{j};]$ e $[;B=B_z\widehat{k};]$ , mostre que:

$[;\frac{\partial E_y}{\partial x}=-\frac{\partial B_z}{\partial t};]$

[;b);]