Evandro Alves Nakajima: Onda Eletromagnética

Vamos inicialmente observar a 3° equação de Maxwell dada no post anterior:

$[;\oint E\cdot ds = -\frac{d\Phi_B}{dt};]$ [;(1);]

Observe que polarizando linearmente os campos eletricos e magnéticos temos, por exemplo, o campo elétrico [;E;]

no plano

e o campo magnético [;B;]

no plano

(vamos fixálos nestes planos por conveniência).

Assim, tomando um retângulo de altura [;l;]

e largura $[;\Delta x;]$ temos que a integral de linha do campo [;E;]

sobre as partes da curva superior e inferior do retângulo é nula pois o campo é ortogonal a estas partes. Sendo assim, temos que

$[;\oint E\cdot ds = l\cdot(E+dE)]-l\cdot(E) = l\cdot dE = l\cdot dE\cdot \frac{\Delta x}{\Delta x}=l\cdot \frac{dE}{dx}\cdot\Delta x;]$ . [;(2);]

Vamos analisar agora o outro lado da equação [;(1);]

. Temos que $[;\Phi_B=\oint B\cdot dA;]$ , onde o campo [;B;]

é constante, logo

$[;\Phi_B=B\cdot\oint dA = B\cdot l \cdot \Delta x;]$ e assim, obtemos $[;-\frac{d\Phi_B}{dt}=-\frac{dB}{dt}\cdot l \cdot\Delta x ;]$ [;(3);]

Dessa forma, igualando [;(2);]

temos a seguinte equação

$[;\frac{dE}{dx}=-\frac{dB}{dt};]$ que derivando com relação à [; x ;]

nos dá $[;\frac{d^2E}{dx^2}=\frac{-d^2B}{dxdt};]$ . [;(4);]

Terminamos aqui de usar a 3° equação de Maxwell. Vamos agora observar a quarta equação de Maxwell:

$[;\oint B\cdot ds = \mu_0\cdot I_{ind}+\mu_0\cdot \varepsilon_0\cdot\frac{d\Phi_E}{dt};]$ . [;(5);]

Como não temos corrente induzida no vácuo a primeira soma da integral acima é nula. Assim, analisando a parte esqueda da equação temos, ao fazer um cubo de altura [;l;]

e largura $[;\Delta x;]$ vem que

$[;\oint B\cdot ds = l\cdot(B+dB)-l\cdot B \ \ \ \ \Rightarrow \ \ \ \ \oint B\cdot ds = dB\cdot l = dB\cdot l\cdot\frac{\Delta x}{\Delta x} = \frac{dB}{dx}\cdot l\cdot\Delta x;]$ . [;(6);]

Analisando o lado direito da equação [;(5);]

temos que, já utilizando o fato de que o campo [;E;]

é constante:

$[;\mu_0\cdot\varepsilon_0\frac{d\Phi_E}{dt} = \mu_0\cdot\varepsilon_0\frac{d\oint E \cdot ds}{dt} = \mu_0\cdot\varepsilon_0\cdot l \cdot \Delta x \frac{dE}{dt};]$ [;(7);]