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segunda-feira, 4 de janeiro de 2010

O Tempo Relativístico

Vamos supor que um trem viaja a uma velocidade constante [;v;] e um observador dentro do trem (referencial inercial) mede o tempo em que um feixe de luz demora para atingir um espelho à uma altura [;L;] acima do trem. De acordo com a mecânica clássica, considerando a velocidade da luz igual à [;c;] temos que [;2L=c\cdot\Delta t;] [;(1);]. Enquanto isso, um observador fora deste trem faz a mesma medida (referencial não inercial), porém ele vê um percurso diferente que este feixe percorre. Ele deve enchergar um percuso [;S;] proporcional à altura em que se encontra o espelho e também proporcional à distancia [;\Delta x;] percorrida pelo trem em um período [;\Delta t';]. Mais propriamente, ele deve ver que [;S^2=L^2+\frac{\Delta x^2}{4};]  [;(2);] , também que [;2S=\Delta t' \cdot c;]   [;(3);]  bem como [;\Delta x = v\cdot \Delta t';] [;(4);].  Juntando 1, 2, 3 e 4 temos que
[;\frac{\Delta t'^2\cdot c^2}{4}=\frac{c^2\cdot \Delta t^2}{4}+\frac{v^2\cdot \Delta t'^2}{4};]
[;\Rightarrow \ \ \ \ \Delta t'^2\cdot (c^2-v^2)=\Delta t\cdot c^2;]    [;\Rightarrow \ \ \ \ \Delta t'^2=\Delta t^2\cdot\frac{c^2}{c^2-v^2};]
Onde [;\frac{c^2-v^2}{c^2}=1-\frac{v^2}{c^2};]  e assim,   [;\frac{c^2}{c^2-v^2}=\frac{1}{1-\frac{v^2}{c^2}};].    Portanto

[;\Delta t = \Delta t'\cdot \frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}};]
Costumamos chamar   [;\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} = \gamma;] ou fator de correção de Lorentz. (E tanto Eisten quanto Lorentz não ganharam o prêmio Nobel por isso!!! XD ... Vai entender esse povo!!!)
Postado por às

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