Primeira Lista de Algebra Linear (Flávio Coelho)

1) Seja um espaço vetorial.

a) Mostre que e que

Resposta: Note que e assim,

Como V é espaço vetorial, segue que ele é grupo e assim, vale a lei do cancelamento a direita, logo

 

 Além disso, temos que e, da mesma forma

Novamente pela lei do cancelamento a direita temos 

b) Mostre que se com então ou .

Resposta: Vamos supor que . Temos que como é corpo segue que todo elemento não nulo tem inverso multiplicativo, assim obtemos que 

Por outro lado se supormos que então não podemos assumir pois do contrário, possuirá inverso e assim

que é uma contradição.

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2) Mostre que os conjuntos   e o espaço das funções são espaços vetoriais.

Resposta:

i) Considere o conjunto com as seguintes operações:

-Associatividade 

- Comutatividade

Novamente, como é corpo, segue que

- Elemento Neutro e Elemento inverso

Como é corpo, para todo temos que existe e tais que

-Associativa da multiplicação

- Distributiva para vetores

-Distributiva para escalares

 

- Identidade do corpo

Temos que e assim

Portanto, é um espaço vetorial.


ii) Seja um conjunto qualquer e o conjunto de todas as funções com as operações usuais.

-Associatividade 

-Comutatividade 
Como é corpo, segue que é grupo abeliano e portanto

- Elemento Neutro e Elemento inverso
Considere igual a função identicamente nula, ou seja, então

-Associativa da multiplicação

- Distributiva para vetores

-Distributiva para escalares

- Identidade do corpo

Considere a função definida por , assim

 

Portanto, com as operações acima é um espaço vetorial.

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3) Mostre que é um espaço vetorial sobre.

 Resposta: Temos que com as operações

4) Seja um subcorpo de . Mostre que se é um espaço vetorial sobre então será um espaço vetorial sobre .

 Resposta: As quatro propriedades que levam a ser um grupo abeliano permanecem válidas pois não dependem do corpo. Vamos analisar as outras quatro propriedades relacionadas com o produto por escalar.

- Associatividade da multiplicação

Dados temos que e portanto vale

-Identidade

Como é subcorpo segue que também é  corpo, logo, existe um elemento tal que

, a saber, e portanto

   uma vez que é espaço vetorial sobre

Distributividade para vetores

Pois vale para todo , em particular vale para .

Distributividade para escalares

   Pelo mesmo motivo que o item anterior.

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5) Seja um plano do . Mostre que é um espaço vetorial.

Resposta: Vamos mostrar que é fechado para diferença e que possui o elemento neutro do , para mostrar assim, que é subgrupo. De fato, pois e 

logo é fechado para subtração. Vamos mostrar que é comutativo, de fato 

 

Identidade

é a identidade pois 

Temos que a assoatividade do produto, distributiva para vetores e distributiva para escalares são imediatas visto que valem para todo , logo vale para .

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6) Descreva o espaço vetorial das soluções do seguinte sistema linear