Evandro Alves Nakajima: Circuitos RLC

Aproveitando que eu estou estudando para o exame de física 4 (sim, de exame em física 4) vou postar algumas coisas que vão (direta ou indiretamente) cair na prova! (projeto mãe Diná 2010):

Seja um Circuito com um resistor de resistência R (Ok, o pleonasmo vem da própria física eu juRo!), um capacitor de capacitância C, um indutor de indutância L e uma fonte de corrente alternada V. Como esta é alternada temos que

$[;V=V_{0}\cdot e^{i\omega t};]$ e $[;I=I_{0}\cdot e^{i\omega t};]$ .

Vamos analisar inicialmente somente o circuito resistivo, ou seja, quando [;V=V_R=IR;]

. Temos assim que

$[; V_0\cdot e^{i\omega t}=I_0\cdot e^{i\omega t}\cdot R \ \ \ \ \ \ \Rightarrow \ \ \ \ \ \frac{V_0}{I_0}=R;]$

Onde $[;\frac{V_0}{I_0}=Z;]$ é a reatância resistiva. Daí, podemos concluir que [;V_R;]

está em fase.

Analisemos agora o sistema puramente capacitivo, ou seja, quando $[;V=V_C=\frac{Q}{C};]$ .

Como $[;I=\frac{dQ}{dt};]$ e $[;Q=V\cdot C;]$ temos que

$[;I= C\cdot\frac{dV}{dt}= CV_0\omega i\cdot e^{i\omega t};]$ onde $[;i\cdot e^{i\omega t}=e^{i(\omega t+\frac{\pi}{2})};]$ assim,

$[;I=V_0C\omega\cdot e^{i(\omega t +\frac{\pi}{2})};]$ , ou seja $[;I_0=V_0C\omega;]$ . Podemos concluir que [;V_C;]

está defasado de um ângulo igual a $[;\frac{\pi}{2};]$ .

Logo, $\frac{V_0}{I_0}=\frac{V_0}{V_0 C \omega}=\frac{1}{C\omega}$ . Chamamos comumente $[;X_c=\frac{1}{C\omega};]$ de reatância Capacitiva.

Vamos analisar separadamente agora o sistema puramente indutivo, ou seja, $[; V=V_L = L\cdot\frac{dI}{dt};]$ . Como $[;I=I_0\cdot e^{i\omega t};]$ derivando temos

$[;V_0\cdot e^{i\omega t}=I_0\omega L i \cdot e^{i\omega t};]$ logo, $[;\frac{V_0}{I_0}=\omega L i;]$ onde i representa a defasagem de [;V_L;]

. Portanto, temos que a reatância indutiva (já considerando a defasagem ao analisar os fasores) [;X_L;]

é dada por

$[;X_L=\omega L;]$ .

Circuitos RC: Aqui temos que [;V=V_R+V_C;]

, fazendo a análise dos fasores [;(;]

vendo que

está defasado de $[;\frac{\pi}{2};]$ em relação a [;V_C;]

temos que

$[;V^2=V_{R}^2+V_{C}^2;]$ onde [;V_R=RI;]

e $[;V_C=\frac{Q}{C};]$

Note que $[;\int I_0\cdot e^{i\omega t}dt = Q;]$ , ou seja, $[;Q=\frac{I}{\omega};]$ . Daí

$[;V^2=I^2R^2+\frac{I^2}{\omega^2C^2};]$ logo, $[;V=I\sqrt{R^2+\frac{1}{\omega^2C^2}};]$ com $[;X_C=\frac{1}{\omega C};]$

Portanto a reatância $[;Z=\frac{V}{I};]$ no ci rcuito RC é dada por $[; Z=\frac{V}{I}=\sqrt{R^2+X_C^2};]$ .

Circuitos RL: Temos agora . Novamente, analisando os tensores e verificando que se encontra defasado de $[;\frac{\pi}{2};]$ em relação à temos que

onde e $[;V_L=L\cdot\frac{dI}{dt};]$

Note que, $[;\frac{dI}{dt}=I\omega;]$ , e portanto, obtemos

$[;V=I\sqrt{R^2+L^2\omega^2};]$ onde $[;L\omega=X_L;]$ . Portanto, a reatância $[;Z=\frac{V}{I};]$ é dada por

$[;Z=\sqrt{R^2+L^2\omega^2};]$ .

Circuitos RLC: Por fim, analisemos o circuito RLC. Temos, pela lei de Kirchoff que [;V=V_R+V_L-V_C;]

(Note que o indutor tem sinal negativo pois ele produz uma corrente induzida, ao contrario dos outros que dissipam a fem no circuito). Fazendo a analise tensorial obtemos que